Epitrochoide / Epizykloide: Die Formenvielfalt bei einer Übersetzung von 3:1

Es wird ein Überblick über die Formenvielfalt anhand

• der Anzahl der Spitzen bzw. Schleifen
• der Anzahl der genähert geradegeführten Kurvenabschnitte
• der Anzahl der Selbstberührungspunkte
• der Anzahl der Selbstschnittpunkte
• der Anzahl der Wechsel der Krümmungsmittelpunkte von einer Seite der Epitrochoiden auf die andere Seite
  (Wechsel von Links- und Rechtskurven)

Um zu gewährleisten, dass alle Formen der Epitrochoiden mit gleichem Übersetzungsverhältnis aufgezeigt werden, wird das umlaufende Rad durch Ringe ersetzt , deren Punkte ähnliche, also formgleiche Epitrochoiden erzeugen.

Die Kreise, die die Ränder der Ringe bilden, sind bekannt. Es handelt sich um

• den BALLschen Kreis, dessen Punkte Epritochoiden mit genäherten Geraden durchlaufen
  (In diesem Fall ist der BALLsche Kreis kleiner als die Darstellung des Drehpunkts, so dass er nicht sichtbar ist)
• die Gangpolkurve, die mit der Lauffläche des Rades identisch ist und deren Punkte Epritochoiden mit Spitzen durchlaufen
• die Übergangskurve, deren Punkte Epritochoiden mit Selbstberührungspunkten erzeugen. Die Anzahl der Übergangskurven variert. Sie kann 0, 1 oder eine Zahl größer als 1 sein.
  (In diesem Fall ist die Anzahl gleich 1)

Die Form der Epitrochoide wechselt, wenn der die Epitrochoide erzeugende Punkt vom Rand des Rings auf die Fläche des Rings wechselt. Das gleiche gilt, wenn er von der Fläche Rings auf den äußeren Rand wechselt. Variiert der erzeugende Punkt seine Lage innerhalb der Fläche eines Rings, ändert sich zwar die Ausprägung der Form einer Epitrochoide, aber qaulitativ ändert sie sich nicht (die verbale Beschreibung ändert sich nicht).

In der folgenden Tabelle wird immer abwechselnd beschrieben, wie eine Epitrochoide aussieht,

1. wenn deren erzeugender Punkt auf dem inneren Rand eines Rings liegt
2. wenn deren erzeugender Punkt auf der Fläche des Rings liegt

• wenn der Punkt auf dem äußeren Rand eines Rings liegt, liegt er gleichzeitig auf dem inneren Rand des nächstgrößeren Rings. Somit folgt auf die Beschreibung 2 die Beschreibung 1 des nächstgrößeren Rings

In der Mitte aller Ringe liegt eine Scheibe, deren Mittelpunkt den inneren Rand eines "scheibenförmigen Rings" bildet. Mit diesem Mittelpunkt fängt die Tabelle an.

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	Anzahl Schleifen 3 Übersetzung i=3:1 Anzahl Umläufe 1	Bemerkungen zu dem die Epitrochoide erzeugenden Punkt Bermerkungen zur Form der Epitrochoide
Erzeugende Punkt liegt auf Rand eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 0 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt ist identisch mit Mittelpunkt des Rades Epitrochoide ist ein Kreis
Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 0 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt zwischen Mittelpunkt des Rades und BALLschem Kreis (BALLscher Kurve) Der Krümmungsmittelpunkt der Bahn wechselt nicht die Seite. (In diesem Fall ist der BALLsche Kreis kleiner als die Darstellung des Drehpunkts, so dass er als Begrenzungslinie des Rings nicht sichtbar ist)
Erzeugende Punkt liegt auf Rand eines Rings Genäherte Geradführungen 3 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 0 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt auf dem BALLschen Kreis (der BALLschen Kurve) Der BALLscher Kreis befindet sich zwischen Mittelpunkt und Rand des umlaufenden Rades Der Radius des Ballschen Kreises ist bei dieser Übersetzung 0.25 (multipliziert mit dem Radius des umlaufenden Rades)
Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 0 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 6		Punkt liegt zwischen BALLschen Kreis (BALLscher Kurve) und Gangpolkurve (In diesem Fall ist der BALLsche Kreis kleiner als die Darstellung des Drehpunkts, so dass er als Begrenzungslinie des Rings nicht sichtbar ist)
Erzeugende Punkt liegt auf Rand eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 3 Selbstschnittpunkte 0 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt auf der Gangpolkurve Die Gangpolkurve ist mit dem äußeren Rand des umlaufenden Rades identisch. Der Radius der kreisförmigen Gangpolkurve ist 1.0 (multipliziert mit dem Radius des umlaufenden Rades)
Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 3 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt außerhalb der Gangpolkurve Punkt liegt zwischen Gangpolkurve und Übergangskurve.
Erzeugende Punkt liegt auf Rand eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 3 Selbstberührungspunkte 1 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt auf der (einzigen) Übergangskurve Die kreisförmige Übergangskurve befindet sich außerhalb des Randes des umlaufenden Rades Der Radius der Übergangskurve ist gleich dem Abstand Mittelpunkt umlaufendes Rad zu Mittelpunkt feststehendes Rad Der Radius der Übergangskurve ist bei dieser Übersetzung 3.6742346141747673 (multipliziert mit dem Radius des umlaufenden Rades)
Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 9 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt außerhalb der (einzigen) Uebergangskurve Eine beliebige Verlängerung des Abstandes des erzeugenden Punktes vom Mittelpunkt des umlaufenden Rades ändert den qualitativen Verlauf der Epitrochoide nicht, solange der erzeugende Punkt außerhalb der größten Übergangskurve liegt.

Zusammenfassung der Links dieser Seite:

• Herleitung der Formenvielfalt von Epitrochoiden
• Übersicht über die Formenvielfalt von Epitrochoiden
• Animation von Trochoiden

© Volker Jäkel, 3.1.2024

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